X
تبلیغات
ریاضی شیرین می شود

ریاضی شیرین می شود

مطالب مربوط به ریاضی2 و مطالب جالب ریاضی

ضرب ماتریس

در جبر خطی ضرب ماتریس‌ به عملیات ضرب یک ماتریس با یک کمیت نرده‌ای یا یک ماتریس دیگر گفته میشود. در این مقاله سعی شده است تا نگاهی به انواع مختلف ضرب ماتریسی داشته باشیم.

 

ضرب معمولی ماتریس‌ها

ضرب معمولی ماتریس‌ها رایج‌ترین نوع ضرب در ماتریس‌هاست. این نوع ضرب تنها زمانی تعریف می‌شود که تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل‌ضرب یک ماتریس m-در-n در یک ماتریس n-در-p یک ماتریس m-در-p است، به همین صورت اگر لیستی از ماتریس‌ها برای ضرب را داشته باشیم که ابعاد مختلفی دارند (مانند m-در-n، n-در-p، p-در-q، q-در-r) بُعد ماتریس حاصلضرب از تعداد سطرهای اولین ماتریس و تعداد ستون‌های آخرین ماتریس می‌آید (مثلا در لیست ذکر شده در بالا بعد ماتریس حاصلضرب m-در-r خواهد بود). توجه به این نکته نیز لازم است که ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.

ضرب معمولی به این صورت تعریف می‌شود


  \overset{3\times 4 \text{ matrix}}{\begin{bmatrix}
     \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
     \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
     \color{Blue} 1 & \color{Blue} 2 & \color{Blue} 3 & \color{Blue} 4 \\
  \end{bmatrix}}
  \overset{4\times 5\text{ matrix}}{\begin{bmatrix}
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red}a & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red}b & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red}c & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red}d & \cdot \\
  \end{bmatrix}}
=
\overset{3\times 5\text{ matrix}}{
\begin{bmatrix}
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & x_{3,4} & \cdot \\
\end{bmatrix}}

که در آن درایه x_{3,4} برابر است با :

x_{3,4} =
({\color{Blue}1}, {\color{Blue}2}, {\color{Blue}3}, {\color{Blue}4})\cdot
({\color{Red}a}, {\color{Red}b}, {\color{Red}c}, {\color{Red}d})
= {\color{Blue} 1}\times{\color{Red} a}
+{\color{Blue} 2}\times{\color{Red} b}
+{\color{Blue} 3}\times{\color{Red} c}
+{\color{Blue} 4}\times{\color{Red} d}.

برای به یادسپاری این موضوع می‌توان ضرب معمولی را به این صورت القا کرد که سطر اول در ستون اول درایه اول و یا به صورت کلی‌تر سطر mم در ستون nم درایه mnم.

 نمایش فرمولی

فرض کنید برای A \in F^{m \times n} و B \in F^{n \times p} در میدان F که  (AB) \in F^{m \times p} ، درایه‌های AB به صورت زیر بدست می‌آیند :

 (AB)_{i,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}

در اینجا i و j را اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم که 1 \le j \le n و 1 \le i \le m.

 رابطه ضرب معمولی با ضرب داخلی و ضرب خارجی

ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت‌های خاص و ساده‌شده‌ای از ضرب معمولی ماتریس‌ها هستند. ضرب دو بردار ستونی A و B به صورت A\cdot B = A^TB می‌باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح‌تر :

A\cdot B = A^TB =
\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n  \end{bmatrix}.
.

ضرب خارجی به صورت A\otimes B = AB^T تعریف می‌شود که:

AB^T =
\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}b_1 & b_2 & \cdots & b_n\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n \\
\end{bmatrix}.

ضرب ماتریس‌ها در پناه این دو عمل می‌تواند به صورت قطعه‌ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیه‌ی ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی می‌کنیم، در شکل زیر ماتریس A را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس B را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می‌دهیم :

\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
{\color{Red} a_{1,1}} & {\color{Red}a_{1, 2}} & \cdots & {\color{Red} a_{1, n}} \\
{\color{ForestGreen} a_{2,1}} & {\color{ForestGreen} a_{2, 2}} & \cdots &
{\color{ForestGreen} a_{2, n}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\color{Blue} a_{m, 1}} & {\color{Blue} a_{m, 2}} & \cdots &
{\color{Blue} a_{m, n}}
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
{\color{Red} A_1} \\ {\color{ForestGreen} A_2} \\ \vdots \\ {\color{Blue} A_m}
\end{bmatrix}
\mathbf{B} =
\begin{bmatrix}
{\color{Red}b_{1,1}} & {\color{ForestGreen}b_{1, 2}} & \cdots & {\color{Blue}b_{1, p}} \\
{\color{Red}b_{2,1}} & {\color{ForestGreen}b_{2, 2}} & \cdots & {\color{Blue}b_{2, p}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\color{Red}b_{n, 1}} & {\color{ForestGreen}b_{n, 2}} & \cdots & {\color{Blue}b_{n, p}}
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
{\color{Red} B_1} & {\color{ForestGreen} B_2} & \cdots & {\color{Blue} B_p}
\end{bmatrix}

که در اینجا A_i = \begin{bmatrix}a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \end{bmatrix} و B_i = \begin{bmatrix}b_{1, i} & b_{2, i} & \cdots & b_{n, i}\end{bmatrix}^T.
می‌باشند.

ضرب ماتریسی با این شیوه با توجه به تعاریف بالا به این صورت خواهد بود :


\mathbf{AB} = 
\begin{bmatrix}
   A_1 \\
   A_2 \\
   \vdots \\
   A_m
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} B_1 & B_2 & \dots & B_p
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
(A_1 \cdot B_1) & (A_1 \cdot B_2) & \dots & (A_1 \cdot B_p) \\
(A_2 \cdot B_1) & (A_2 \cdot B_2) & \dots & (A_2 \cdot B_p) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(A_m \cdot B_1) & (A_m \cdot B_2) & \dots & (A_m \cdot B_p)
\end{bmatrix}
.


ویژگی‌ها

AB \ne BA
  • اگر A و B دو ماتریس n-در-n باشند، دترمینان حاصلضرب به اولویت شرکت آنها در ضرب بستگی ندارد.
\;\!\det(AB) = \det(BA)
  • اگر هر دو ماتریس قطری مربعی با ابعاد مشابه باشند، ضرب آنها جابجایی است.
  • ضرب ماتریسی شرکت‌پذیر است:
\ \mathbf{A} ( \mathbf{B C} ) = ( \mathbf{A B} ) \mathbf{C}
  • ضرب ماتریسی بروی جمع پخش می‌شود:
\ \mathbf{A} ( \mathbf{B} + \mathbf{C} ) = \mathbf{A B} + \mathbf{AC}
\ ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) \mathbf{C} = \mathbf{A C} + \mathbf{B C}.
  • اگر ماتریس را تحت یک میدان (برای مثال میدان‌های حقیقی یا مختلط) تعریف کنیم، آنگاه تحت هر اسکار از آن میدان جابجایی خواهد بود:
\ c ( \mathbf{A B} ) = ( c \mathbf{A} ) \mathbf{B}
\ ( \mathbf{A} c ) \mathbf{B} = \mathbf{A} ( c \mathbf{B} )
\ ( \mathbf{A B} ) c = \mathbf{A} ( \mathbf{B} c )
در اینجا c یک اسکالر از میدان مربوطه‌است.

 ضرب اسکالر در ماتریس

ضرب اسکالر r در یک ماتریس A به این صورت تعریف می‌شود:

 (r\mathbf{A})_{ij} = r \cdot a_{ij}. \,

برای مثال اگر :

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

در نتیجه

 r \cdot \mathbf{A}=\begin{bmatrix} r \cdot a & r \cdot b \\ r \cdot c & r \cdot d \end{bmatrix}
+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:53  توسط آوریل مرادی  | 

ماتریس

 

نمایش یک ماتریس با m سطر و n ستون

ماتریس به یک آرایش منظم از اعداد گفته می‌شود. به طوری که می‌توان گفت که هر ستون یا هر سطر یک ماتریس، یک بردار را تشکیل می‌دهد. در جبر خطی، می‌توان اثبات کرد که هر نگاشت خطیِ، از فضای {\mathbb{R}^n} به فضای {\mathbb{R}^m}، هم ارز (isomorph) با یک ماتریس m\times n (m سطر و n ستون) می باشد. ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی دارند. از جمله در انتقال‌های خطی و در حل دستگاه معادلات خطی. ماتریس‌ها می‌توانند که با همدیگر جمع، از هم تفریق، در هم ضرب یا ... (با قوانین خودشان) بشوند.

اگر دترمینان یک ماتریس مربعی نا صفر باشد، آنگاه آن ماتریس را ماتریس معکوس‌پذیر نامند.

 

 درایه‌ها

به هر یک از عناصر موجود در یک ماتریس درایه می‌گویند. برای مشخص کردن هر درایه باید نام ردیف و ستون را در پایین نام ماتریس نوشت. برای مثال اگر نام ماتریسی i باشد درایه‌ای که در ردیف اول و ستون دوم قرار دارد به این صورت نشان داده می‌شود : i1,2

[ویرایش] معکوس ماتریس 2*2

وارون ماتریس.jpg

[ویرایش] معکوس ماتریس 3*3

Varoon2.jpg

+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:50  توسط آوریل مرادی  | 

تابع‌های مثلثاتی

تابع مثلثاتی، در ریاضیات، به شش تابع سینوس_(ریاضیات)، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت، که هر متغیر را به اندازه مقادیر مذکور می‌برد، گفته می‌شود. به عنوان مثال تابع \sin x، تابعی است که به ازای هر متغیر بعنوان مقدار زاویه x، مقداری بعنوان \sin x=A ارائه می‌دهد. به مانند توابع دیگر، بررسی خواص و رفتار توابع مثلاً تعیین برد و دامنه، پیوستگی، مشتق‌پذیری، دیفرانسیل و انتگرال در مورد توابع مثلثاتی نیز برقرار است.

تابع سینوس

تابع سینوس را با نماد sin نشان می‌دهند. طبق تعریف، زاویه t بر حسب رادیان که یک عدد حقیقی است، دامنه تابع \sin(t) = y است. برد این تابع (مقادیر y) همواره در بازه [۱و۱-] قرار دارد.

 تابع کسینوس

تابع کسینوس را با نماد cos نشان می‌دهند. طبق تعریف، زاویه t بر حسب رادیان که یک عدد حقیقی است، دامنه تابع \cos(t) = x است. برد این تابع (مقادیر x) همواره در بازه [۱و۱-] قرار دارد.

+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:48  توسط آوریل مرادی  | 

دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی دایره‌ای به شعاع واحد می‌باشد که مرکز آن مبدا مختصات است.و جهت مثبت دایره مثلثاتی را مخالف جهت حرکت عقربه‌های ساعت در نظر می گیرند

نقطه‌ای مانند A با مختصات (\sin \theta,\cos \theta) بر روی محیط دایره در نظر بگیرید (شکل روبرو). طبق تعاریف سینوس و کسینوس می‌دانیم که \cos(\theta) = x \,\! و \sin(\theta) = y \,\!. از طرفی برای مثلث قائم‌الزاویه OAC که وتر آن به اندازه یک واحد است، داریم  \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \,\! که این رابطه یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم علم مثلثات است.

با توجه به خواص دایره مثلثاتی و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس متناوب هستند خواهیم داشت:

\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta) \,\!
\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta) \,\!
+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:45  توسط آوریل مرادی  | 

روابط مهم مثلثاتی

روابط مهم مثلثاتی که در حل مسائل بسیار موثر خواهند بود :

 \cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 \,
\ cos (a+b)=cos a\times\ cos b - sin a\times\ sin b \,
\ cos (a-b)=cos a \times\cos b + sin a \times\sin b  \,
\ sin (a+b)=sin a \times\cos b + cos a \times\sin b \,
\ sin (a-b)=sin a \times\cos b - cos a \times\sin b \,


'tan(45 + a) = 1 + tana / 1 − tana'

\tan(a+b) = \frac{tan a + tan b}{1-tan a\times\tan b}\  \,


\tan(a-b) = \frac{tan a - tan b}{1+tan a\times\tan b}\  \,


\cos 2a=cos^2 a -sin^2 a=2cos^2 a -1= 1 - 2sin^2 a  \,


\sin 2a=2sin a\times\cos a  \,


\cos^2 a=\frac{1}{2}\ (1+cos 2a) \,
\sin^2 a=\frac{1}{2}\ (1-cos 2a) \,
\ cos a \times\cos b =\frac{1}{2}(cos (a+b)+ cos (a-b))
\ sin a \times\sin b =\frac{1}{2}(cos (a-b)- cos (a+b))
\ sin a \times\cos b =\frac{1}{2}(sin (a+b)+ sin (a-b))


\ cos a +cos b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,
\ cos a -cos b=-2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,
\ sin a +sin b=2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,
\ sin a -sin b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,

چنانچه t = \tan \frac{A}{2}, : آنگاه

\sin\ A = {{2\,t} \over {1+t^{2}}}
\cos\ A = {{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}
\tan\ A = {{2\,t}\over {1-t^{2}}}

فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق می‌کند
a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c \cdot cos\ A
+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:43  توسط آوریل مرادی  | 

لگاریتم

نمودار لگاریتم در پایهٔ ۲ که محور xها (محور افقی) را در نقطهٔ ۱ قطع می‌کند، بالا می‌رود و به ترتیب از نقطه‌های (۲،۱) و (۴،۲) و (۸،۳) عبور می‌کند. به ازای اعداد نزدیک صفر، منحنی لگاریتم به محور عمودی y بسیار نزدیک می‌شود ولی هرگز با آن مماس نمی‌شود یا آن را قطع نمی‌کند.

لُگاریتم یک عدد در یک پایه، برابر با توانی از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایه ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر x = by باشد آنگاه لگاریتم x در پایهٔ b برابر با y خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت نمایش می‌دهیم. مانند:

لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند:

مفهوم امروزی لگاریتم از تلاش‌های لئونارد اویلر در قرن ۱۸ گرفته شده است؛ او توانست مفهوم لگاریتم را با مفهوم تابع نمایی پیوند دهد.

لگاریتم در پایه ۱۰ را لگاریتم اعشاری می‌نامند که کاربرد بسیار زیادی در مهندسی دارد. لگاریتم در مبنای ثابت e یا عدد نپر ≈ ۲٫۷۱۸ را لگاریتم طبیعی می‌نامند. این لگاریتم در ریاضیات محض بویژه حساب دیفرانسیل و انتگرال بسیار کاربرد دارد. لگاریتم دو دویی نیز در مبنای ۲ نوشته می‌شود و کاربرد زیادی در علوم رایانه دارد.

به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد برای نمونه دسی‌بل یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن فشار صدا و نسبت ولتاژ کاربرد دارد. در شیمی نیز پ هاش که معیاری برای نشان دان میزان اسیدی بودن مایعات است در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. همچنین لگاریتم در نظریه پیچیدگی محاسباتی و در برخی شکل‌های هندسی مانند برخال‌ها کاربرد دارد. از دیگر کاربردهای آن می‌توان به فاصله در موسیقی و رابطه‌های شمارش اعداد اول اشاره کرد.

تابع توان وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون تابع نمایی به کار رفته در اعداد مختلط است. لگاریتم گسسته نیز در رمزنگاری کلید عمومی استفاده می‌شود.

انگیزه اولیه و تعریف

انگیزه ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان بوده‌است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود.

به توان رساندن

توان سوم عددی مانند b برابر است با 3 بار ضرب b در خودش. حال اگر b به توان یک عدد طبیعی مانند n برسد به معنی n بار ضرب کردن b در خودش است که به صورت زیر نمایش می‌دهیم:

در صورتی که n عدد طبیعی نباشد، آنگاه bn جواب دیگری خواهد داشت. مانند 1- که b-1 برابر معکوس b است.[nb ۱]

تعریف

لگاریتم عددی مانند y در پایهٔ b عبارت است از یافتن عددی که اگر b به توان آن عدد برسد برابر با y شود. به عبارت دیگر جواب x معادلهٔ زیر برابر با لگاریتم y در پایهٔ b خواهد بود.[۲]

پایهٔ b باید یک عدد حقیقی مثبت و نامساوی 1 باشد و y نیز باید یک عدد مثبت باشد.[۲]

چند نمونه

نمونه یکم

برای نمونه ۴ = (۱۶) log۲ چون ۱۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲۴

نمونه دوم

برای توان‌های منفی نیز لگاریتم معتبر است مانند:

چون

نمونهٔ سوم

(۱۵۰) log۱۰ تقریبا برابر است با ۲٫۱۷۶ عددی میان ۲ و ۳ چون ۱۵۰ خود عددی است میان ۱۰۰ = ۱۰۲ و ۱۰۰۰ = ۱۰۳ همچنین در هر پایه‌ای log b(b) = 1 و log b(1) = 0 چون به ترتیب: b1 = b و b0 = 1 است.

قوانین لگاریتم

نوشتار اصلی: فهرست اتحادهای لگاریتمی

رابطه‌های مختلفی به عنوان قوانین لگاریتم وجود دارند که می‌توانند میان فرمول‌های لگاریتمی رابطه برقرار کنند.

ضرب، تقسیم، توان، ریشه

لگاریتم حاصل ضرب چند عدد برابر است با مجموع لگاریتم‌های تک تک آن عددها. لگاریتم نسبت دو عدد (تقسیم) برابر است با تفاضل لگاریتم آن دو عدد. لگاریتم توان p ام یک عدد برابر است با p برابر لگاریتم آن عدد. لگاریتم ریشه p ام یک عدد برابر است با لگاریتم آن عدد تقسیم بر p. جدول زیر قوانین لگاریتم را همراه با یک نمونه نشان داده‌است:

رابطه

نمونه

ضرب

تقسیم

توان

ریشه

تغییر پایه

می‌توان log b(x) را به صورت غیر مستقیم با گرفتن لگاریتم x و b در یک پایه دلخواه مانند k بدست آورد، به این ترتیب که:

بیشتر ماشین حساب‌هایی که در دسترس اند لگاریتم را تنها در مبنای ۱۰ و عدد نپر محاسبه می‌کنند و لگاریتم در پایه‌های دیگر را به کمک رابطهٔ بالا محاسبه می‌کنند:

همچنین اگر عددی مانند x و مقدار لگاریتم آن را در یک مبنای نامشخص b داشته باشیم logb(x) حال می‌توان مبنای نامشخص b را به ترتیب زیر محاسبه کرد:

پایه‌های ویژه

پایه‌های ویژه لگاریتم عبارتند از ۱۰، ۲ و عدد e (عدد گنگی تقریبا برابر با ۲٫۷۱۸۲۸) در آنالیز ریاضی لگاریتم در پایه عدد e بسیار کاربرد دارد، لگاریتم در پایه ۱۰ را می‌توان بوسیله ماشین حساب‌های دستی که در اختیار است به آسانی محاسبه کرد:

لگاریتم در پایه ۱۰ را می‌توان به آسانی با شمردن تعداد رقم‌های یک عدد بدست آورد. برای نمونه (۱۴۳۰) log۱۰ تقریبا برابر است با ۳٫۱۵ چون ۱۴۳۰ چهار رقم دارد پس لگاریتم آن در پایهٔ ۱۰ باید عددی میان ۳ و ۴ باشد. لگاریتم در پایه ۲ در علوم رایانه مورد استفاده قرار می‌گیرد چون در آن از دستگاه اعداد دودویی استفاده می‌شود.

جدولی که در ادامه قرار داده شده‌است علامت‌هایی که برای نشان دادن تابع لگاریتم کاربرد دارند و جایی که هر نوع لگاریتم مورد استفاده قرار می‌گیرد را نشان داده‌است. در بسیاری موارد اگر بتوان از روی نوشته تشخیص داد تنها از نماد لگاریتم استفاده می‌کنند و از نوشتن پایه آن خودداری می‌کنند. در جدول زیر نمادی ستون «نماد ISO» مربوط به پیشنهادی است که از سوی سازمان بین‌المللی استانداردسازی داده شده‌است.(ISO 31-11)

پایه b

نام گونهٔ لگاریتم

ISO نماد در

دیگر نمادها

کاربرد

۲

لگاریتم دودویی

lb(x)

ld(x)، log(x)
در علوم رایانهlg(x)

علوم رایانه، نظریه اطلاعات

e

لگاریتم طبیعی

ln(x)[nb]

log(x)
در ریاضی و بسیاری از زبان‌های برنامه نویسی

آنالیز ریاضی، فیزیک، شیمی
آمار, علم اقتصاد, و بعضی از زمینه‌های مهندسی

۱۰

لگاریتم اعشاری

lg(x)

log(x)
در مهندسی، زیست شناسی، اخترشناسی,

در زمینه‌های گوناگون مهندسی مانند دسی‌بل
تهیه جدول لگاریتم و ماشین حساب‌های مهندسی

پیشینه

پیشینیان

ویراسنا، ریاضی‌دان هندی از کسانی بود که با مفهومی به نام ardhaccheda کار کرد. ardhaccheda یعنی تعداد دفعاتی که می‌توان ۲n را نصف کرد. برای نمونه برای توان‌های دقیق ۲ این کار برابر با لگاریتم گرفتن در مبنای ۲ بود؛ وی همچنین لگاریتم در پایهٔ دیگر اعداد صحیح مانند لگاریتم در پایه ۳ (trakacheda) و در پایه ۴ (caturthacheda) را نیز معرفی کرد. مایکل استیفل در سال ۱۵۴۴ میلادی در نورنبرگ Arithmetica integra را منتشر کرد، در این نوشته جدولی از اعداد صحیح و توان‌های ۲ داده شده بود، این جدول به عنوان نسخهٔ اولیهٔ جدول لگاریتم شمرده می‌شود.

از نپر تا اویلر

جان نپر (۱۶۱۷-۱۵۵۰) بدست آورنده روش لگاریتم‌گیری

روش لگاریتم‌گیری در سال ۱۶۱۴ از سوی جان نپر در کتابی با عنوان Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (توصیفی بر قانون شگفت‌انگیز لگاریتم) ارائه شد.همچنین ژو بورجی (به فرانسوی: Joost Bürgi) نیز جداگانه روش لگاریتم‌گیری را پیدا کرده بود اما آن را شش سال پس از نپر منتشر کرد.[

نپر، با استفاده از روش تقسیم‌های متوالی توانسته بود عبارت را به ازای L‌های میان ۱ تا ۱۰۰ محاسبه کند. جواب این عبارت برای ۱۰۰ = L تقریبا برابر است با ۰٫۹۹۹۹۹ = ۱ - ۵-۱۰ و ۲۰ ۰٫۹۹۵ ≈ ۰٫۹۹. این محاسبات که ۲۰ سال طول کشید، باعث شد تا او بتواند به ازای هر عدد N در بازهٔ ۵ تا ۱۰ میلیون، بتواند عدد L را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند:

نپر ابتدا نام «عدد ساختگی» را بر L نهاد ولی پس از مدتی واژهٔ «لگاریتم» logarithm را معرفی کرد و آن را بر عددی گذاشت که نمایندهٔ یک نسبت است: واژهٔ λόγος برابر logos به معنی «نسبت» است و واژهٔ ἀριθμός برابر arithmos به معنی «عدد» است. بوسیلهٔ عبارت زیر می‌توان مفهوم پیشین لگاریتم را با مفهوم امروزی لگاریتم طبیعی مرتبط کرد:

با تقریب خوبی داریم:

این دست‌آورد خیلی زود مورد تحسین گستردهٔ دیگران قرار گرفت، به همین دلیل با تلاش دانشمندانی چون بوناونتورا کاوالیری (Bonaventura Cavalieri) از ایتالیا، ادموند ونگت (Edmund Wingate) از فرانسه، زو فنگزوئو (Xue Fengzuo) از چین و... مفهوم لگاریتم همه جا فراگیر شد.

هذلولی y = ۱/x (منحنی قرمز) و سطح زیر آن از x = ۱ تا ۶ (قسمت نارنجی رنگ).

در سال ۱۶۴۷ گرگوآر دو سن-ونسان توانست مفهوم لگاریتم را با یک چهارم هذلولی مرتبط کند، با فرض آنکه سظح f(t) زیر منحنی هذلولی به ازای ۱ = x تا t در رابطه زیر صدق می‌کند:

لگاریتم طبیعی اولین بار از سوی نیکولاس مرکاتور در مقاله Logarithmotechnia که در سال ۱۶۶۸ منتشر کرد، توضیح داده شد.  البته پیش از او جان اسپیدل که یک معلم ریاضی بود در سال ۱۶۱۹ جدولی از لگاریتم طبیعی را گردآوری کرده بود. در حدود سال ۱۷۳۰ لئونارد اویلر تابع نمایی و لگاریتم طبیعی را به گونه زیر تعریف کرد:

همچنین اویلر نشان داد که این دو تابع وارون یکدیگرند.

جدول لگاریتم، خط‌کش لغزان و کاربردها در گذشته

متن سال ۱۷۹۷ دانشنامه بریتانیکا در بارهٔ لگاریتم.

با ساده سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش پیشرفته مانند اخترشناسی، نقشه برداری، هوانوردی و ... کمک گرفت. پیر سیمون لاپلاس دربارهٔ لگاریتم گفته‌است:

«

وسیله‌ای ستودنی است که به کمک آن کار چند ماه به چند روز کاهش می‌یابد، عمر اخترشناسان را دو برابر می‌کند و از خطاهای کوچک می‌گذرد و از جمله‌های طولانی و جدانشدنی ریاضی بیزار است.

»

وسیله کلیدی که پیش از در دسترس قرار گرفتن ماشین حساب و رایانه برای محاسبه لگاریتم از آن استفاده می‌شد و بوسیلهٔ آن بود که ارزش لگاریتم روشن شد، جدول لگاریتم بود. چنین جدولی برای اولین بار بوسیلهٔ هنری بریگز در سال ۱۶۱۷ بلافاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. پس از آن جدول‌های وسیع تر و دقیق تری نوشته شد. در این جدول‌ها مقدار logb(x) و bx برای هر عدد x در یک بازه مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولا پایه ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. از آنجایی که تابع bx وارون logb(x) است به آن پادلگاریتم (به انگلیسی: antilogarithm) می‌گویند. لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان بوسیله تابع پادلگاریتم و یا خود جدول بدست آورد:

و

زمانی که رایانه در دسترس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و تفریق لگاریتم‌ها بسیار آسان تر از روش‌های ساده سازی مانند روش Prosthaphaeresis است. روش یاد شده بر پایه اتحادهای مثلثاتی است. شمارش توان‌ها و ریشه‌های اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول به ترتیب زیر کاهش یافته‌است:

و

در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبه لگاریتم بخش اعشاری و بخش صحیح را از یکدیگر جدا می‌کردند مانند نمونه زیر:

وسیله دیگری که برای شمارش لگاریتم کاربرد داشت، خط‌کش لغزان بود.

شکل عمومی خط‌کش لغزان، در لبهٔ پایینی به لگاریتم ۲ می‌رسیم و با اضافه کردن فاصله از لبهٔ بالایی، لگاریتم ۳ به حاصل ضرب یعنی لگاریتم ۶ می‌رسیم. این خط‌کش‌ها چنان درجه بندی شده‌اند که گویی فاصلهٔ ۱ تا x ضریبی از لگاریتم x است. برای نمونه برای لگاریتم ۶، فاصله از لگاریتم ۱ (یعنی صفر) تا ۲ روی لبهٔ پایینی با فاصله از لگاریتم ۱ تا ۳ روی لبه بالایی با هم جمع شد تا فاصله از لگاریتم ۱ تا ۶ را نتیجه دهد.

مدت کوتاهی پس از کشف لگاریتم از سوی نپر، ادموند گونتر خطکشی (معیاری) برای بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به کمک آن می‌شد لگاریتم‌ها را بدست آورد. پس از او ویلیام اوترد روش پیشرفته‌تری را پیشنهاد کرد که دارای یک جفت لگاریتم‌هایی بود که در دو لبهٔ خطکش قرار داده شده بود و با لغزاندن دو لبه خط کش می‌شد لگاریتم مورد نظر را به دست آورد. تا سال ۱۹۷۰ این خطکش وسیله محاسبه‌گر مهمی برای مهندسان و دانشمندان بود؛ چون به کمک آن، با دقت کافی و بسیار سریع تر از جدول‌ها، می‌شد لگاریتم عدد را به دست آورد.

ویژگی‌های ریاضی

مطالعهٔ بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم تابع است. یک تابع مانند یک قانون عمل می‌کند که اگر یک عدد ورودی داشته باشد، در مقابل یک خروجی تولید می‌کند. مانند تابع توان x ام عدد حقیقی b که به صورت زیر نوشته می‌شود:

تابع لگاریتم

برای درک تابع لگاریتم باید نشان داد که معادلهٔ زیر:

دارای راه حل و جواب یکتای x است به شرطی که y بزرگتر از صفر باشد و b بزرگتر از صفر و نامساوی ۱ باشد. برای اثبات این مطلب باید از قضیه مقدار میانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع پیوسته‌ای دو مقدار m و n را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم. می‌توان نشان داد که در تابع نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y > ۰ که میان دو مقدار و به ازای x۰ و x۱ قرار داشته باشد طبق قضیه مقدار میانی می‌توان یک x پیدا کرد که باشد. بنابراین برای معادله یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b > ۱ اکیدا صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیدا نزولی است.

جواب پیدا شده برای این معادله همان لگاریتم y در پایهٔ b است.

تابع وارون

خم تابع لگاریتم (آبی) و خم تابع توانی (قرمز)

لگاریتم تابع توانی برای هر عدد x به صورت زیر نوشته می‌شود:

اگر پایهٔ توان و لگاریتم هر دو b باشد جواب نهایی رابطه بالا قطعا خود x خواهد بود. همچنین اگر عدد مثبت y را داشته باشیم، رابطه زیر نیز برقرار خواهد بود:

بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را ترکیب کرد و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایه b تابع وارون f(x) = bx است.

دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع logb(x) اگر x به سمت مثبت بی نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای b > ۱ به سمت مثبت بی نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع logb(x) اکیدا صعودی است. به ازای b < ۱ اگر x به سمت مثبت بی نهایت رود، مقدار تابع logb(x) به سمت منفی بی نهایت می‌رود. وقتی x به سمت صفر می‌رود مقدار تابع logb(x) برای b > ۱ به سمت منفی بی نهایت می‌رود و برای b < ۱ به سمت مثبت بی نهایت می‌رود.

مشتق و پادمشتق

خم تابع لگاریتم طبیعی (سبز) و خط مماس با آن در نقطه x = ۱٫۵ (سیاه)

ویژگی‌های ریاضی یک تابع را می‌توان در تابع وارون آن نیز جستجو کرد. پس چون f(x) = bx یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که logb(y) نیز همین ویژگی را دارد. یک تابع پیوسته مشتق‌پذیر است اگر هیچ نقطه تیزی (نقطه شکستگی) در آن وجود نداشته باشد. از آنجایی که می‌توان نشان داد که مشتق f(x) برابر با ln(b)bx است، با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی و قاعده زنجیری به این نتیجه می‌رسیم که مشتق logb(x) برابر است با:

که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم logb(x) است که برابر است با . همچنین مشتق ln(x) برابر با است که به این معنی است که پادمشتق همان ln(x) + C است. اگر بجای x حالت کلی fx را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت:

گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع f از ln(f(x)) استفاده می‌کنند که به این کار مشتق‌گیری لگاریتمی می‌گویند. پادمشتق لگاریتم طبیعی ln(x) برابر است با:

رابطه‌های مرتبط با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید.

بیان انتگرالی لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی t برابر است با انتگرال از ۱ تا t:

به عبارت دیگر ln(t) برابر است با سطح میان محور xها و نمودار تابع از 1 = x تا x = t (شکل مقابل). این مطلب، از نتایج قضیه اساسی حسابان و اینکه مشتق ln(x)، است، می‌باشد. عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای لگاریتم طبیعی در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت. برای نمونه ln(tu) = ln(t) + ln(u) را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت:

بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، تغییر متغیر می‌دهد (w = x / t). در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیه آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان طور که خم در جهت x کشیده شده (t برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع‌شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال f(x) = 1/x از 1 تا u است با سطح زیر آن از t تا tu برابر است. پس روی شکل سمت چپ نشان داده شد که ln(tu) یا سطح زیر منحنی برابر است با مجموع ln(t) و ln(u) (سطح زرد و آبی)

اثبات نموداری رابطه ضرب در لگاریتم طبیعی.

رابطهٔ توان ln(tr) = rln(t) را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد:

در تساوی دوم تغییر متغیر را داریم.

مجموع وارون‌های اعداد طبیعی:

که سری هارمونی نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه n به سمت بی‌نهایت برود، تفاضل زیر:

به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا می‌شود. این ارتباط در تحلیل عملکرد الگوریتم‌هایی مانند مرتب‌سازی سریع کمک می‌کند.

محاسبه

در بعضی موارد مانند ۳ = (۱۰۰۰) log۱۰ محاسبهٔ لگاریتم بسیار آسان است. در حالت کلی لگاریتم را به کمک سری‌های توانی یا ابزارهای محاسباتی-هندسی و یا به کمک بازیابی جدول لگاریتم که پیش از این محاسبه شده و دقت کافی دارد، محاسبه می‌کنند. همچنین برای محاسبه lb(x) می‌توان از الگوریتم لگاریتم‌های دودویی که به صورت بازگشتی و بر پایه مربع‌های پشت هم از x عمل می‌کند استفاده کرد:

روش تقریبی نیوتن که یک روش تکرار شونده برای حل تقریبی معادلات است، می‌تواند برای بدست آوردن مقدار لگاریتم مفید باشد؛ چون تابع وارون لگاریتم، تابع نمایی با تقریب خوبی قابل محاسبه‌است.  در صورتی که تنها ابزار در دسترس ابزار جمع و اعداد پایه دو باشد، می‌توان با جستجو در میان جدول CORDIC یا «روش رقم به رقم» روش‌های مناسبی برای محاسبه لگاریتم پیدا کرد.

سری‌های توانی

سری تیلور

سری تیلور. این پویانمایی مقدار سری تیلور را به ازای ۱۰ جمله اول سپس جمله‌های ۹۹ و ۱۰۰ نشان داده‌است.

برای هر عدد حقیقی z که میان کوچکتر از 2 و بزرگتر از صفر است رابطه زیر برقرار است:

با استفاده از روابط زیر ln(z) را می‌توان دقیق‌تر بدست آورد:

برای نمونه، تقریب سوم به ازای z = ۱٫۵ نتیجه برابر با ۰٫۴۱۶۷ خواهد بود که تقریبا ۰٫۱۱ بیشتر از ۰٫۴۰۵۴۶۵ = (۱٫۵) ln است. در حساب دیفرانسیل غیر پیشرفته، ln(z) را به عنوان حد این نوع سری‌ها در نظر می‌گیرند. که به آن بسط تیلور لگاریتم طبیعی به ازای z = ۱ می‌گویند.

دیگر سری‌های پرکاربرد

سری دیگر برپایه تابع وارون تانژانت هذلولوی (وارون تانژانت هیپربولیک) است، این سری برای اعداد مختلط z با بخش حقیقی مثبت است که به صورت زیر نوشته می‌شود:

با استفاده از مفهوم جمع (سیگما) می‌توان این سری را به گونه دیگری نوشت:

این سری از سری تیلور که در بالا گفته شد گرفته می‌شود ولی خیلی زودتر از تیلور همگرا می‌شود.بویژه زمانی که z عددی نزدیک ۱ باشد. برای نمونه برای z = ۱٫۵ سه جمله اول سری دوم با خطایی برابر با ۶-۱۰ × ۳ تقریبا می‌توان گفت تقریبا برابر با (۱٫۵)ln است. اینکه به ازای z‌های نزدیک به ۱ سری زودتر همگرا می‌شود را می‌توان به کمک رابطه زیر نشان داد:

فرض کنید تقریبا و رابطه زیر را نیز داریم:

می‌توان از دو سوی رابطه بالا لگاریتم گرفت:

هرچه مقدار لگاریتم z دقیق‌تر باشد باید ln(A) به صفر نزدیک تر باشد درنتیجه A به ۱ نزدیک‌تر است. مقدار A به کمک سری‌های نمایی محاسبه می‌شود که این سری‌ها، اگر y بزرگ نباشد، خیلی زود همگرا می‌گردند.

برای آسان تر کردن محاسبه ln(z) می‌توان آن را به مقدارهای کوچکتر خُرد کرد به این ترتیب که بگوییم a × ۱۰b = z و لگاریتم آن را به صورت ln(z) = ln(a) + b.ln(10) بنویسیم.

از روش مشابهی می‌توان استفاده کرد تا به کمک آن لگاریتم اعداد صحیح را بدست آورد:

اگر لگاریتم عدد بزرگ n معلوم باشد، می‌توان لگاریتم n + ۱ را با همگرایی سریع سری بالا بدست آورد.

میانگین حسابی-هندسی

با کمک میانگین حسابی-هندسی می‌توان با دقت خوبی لگاریتم طبیعی عددی مانند x را بدست آورد. میزان تقریب آن برابر با 2 p است. این رابطه از سوی ریاضیدان آلمانی کارل فریدریش گاوس پیشنهاد شد.

در اینجا M نماد میانگین حسابی-هندسی است که از تکرار محاسبه میانگین حسابی و ریشهٔ دوم ضرب دو عدد (میانگین هندسی) بدست می‌آید. همچنین m از راه انتخابی مانند زیر بدست می‌آید:

2^{p/2}.\, " type="#_x0000_t75" o:spid="_x0000_i1025">

هم میانگین حسابی-هندسی و هم ثابت‌های π و (۲)ln به کمک سری‌هایی که زود همگرا می‌شوند قابل محاسبه‌اند.

+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:41  توسط آوریل مرادی  | 

تابع قدر مطلق

قدر مطلق

 
تابع قدر مطلق
قدر مطلق عدد مختلط z برابر است با r یا فاصلهٔ نقطهٔ z تا نقطهٔ مرجع. همانگونه که در شکل نمایش داده شده‌است قدر مطلق z و مزدوج آن z با یکدیگر برابرند.

در ریاضیات، قدر مطلق عددی حقیقی، مقدار عددی آن بدون در نظر گرفتن علامتش است. پس قدر مطلق یک عدد همواره نامنفی است یعنی یا مثبت است یا صفر، به بیان دیگر، قدرمطلق یک عدد برابر است با فاصله آن عدد تا صفر.

قدر مطلق در بسیاری از بخش‌های گوناگون ریاضی کاربرد دارد که از آن میان می‌توان از مجموعهٔ اعداد مختلط، چهارگان‌ها، میدان‌ها، فضای برداری نام برد. قدر مطلق را در فیزیک و ریاضی بیش از همه می‌توان به مفهوم بزرگی، فاصله و نُرم نزدیک دانست.

 

 پیشینه

در سال ۱۸۰۶ ژان رابرت ارگاند مفهوم «قدر مطلق» و یکای «اندازه‌گیری» را به فرانسوی معرفی کرد، که البته توجه ویژهٔ وی بیشتر بر روی اعداد مختلط بود.در سال ۱۸۶۶ این مفهوم به زبان انگلیسی برده شده و نام هم سنگ modulus برای آن از لاتین انتخاب شد.مفهوم absolute value در زبان فرانسوی حداقل از ۱۸۰۶ کاربرد داشته است و از ۱۸۵۷ در انگلیسی استفاده می‌شد. نماد | a | برای قدر مطلق در سال ۱۸۴۱ از سوی کارل ویرسترس پیشنهاد شد. دیگر نام‌های قدر مطلق، عبارتند از مقدار عددی (به انگلیسی: the numerical value] و بزرگی (به انگلیسی: the magnitude) است

مفهوم و ویژگی‌ها

اعداد حقیقی

برای هر عدد حقیقی a قدر مطلق a که آن را با |a| نمایش می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌شود:

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{if}  a > 0  \\ -a,  & \mbox{if} a < 0. \end{cases}

همان گونه که در بالا نشان داده شده‌است قدر مطلق یک عدد همواره صفر یا مثبت است و هرگز منفی نیست.

در هندسهٔ تحلیلی قدر مطلق یک عدد حقیقی برابر است با فاصلهٔ آن تا صفر بر روی یک خط حقیقی؛ در حالت کلی قدر مطلق تفاضل دو عدد برابر است با فاصلهٔ میان آن دو عدد. در واقع می‌توان گفت که مفهوم تابع فاصله در ریاضی همان قدر مطلق تفاضل است که در حالت کلی بیان شده‌است.

ریشهٔ دوم یک عدد را می‌توان به صورت زیر نشان داد:

|a| = \sqrt{a^2} (1)

که گاهی از آن به عنوان تعریف قدر مطلق استفاده می‌شود.[۶]

چهار ویژگی اصلی قدر مطلق عبارتند از:

|a| \ge 0 (2) نا صفر بودن
|a| = 0 \iff a = 0 (3) صفر بودن
|ab| = |a||b|\, (4) ضرب‌پذیری
|a+b|  \le |a| + |b|  (5) جمع‌پذیری

دیگر ویژگی‌های آن عبارتند از:

|-a| = |a|\, (6) تقارن
|a - b| = 0 \iff a = b (7) گرفته شده از صفر بودن
|a - b|  \le |a - c| +|c - b|  (8) نامساوی مثلث گرفته شده از جمع‌پذیری
|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (if} b \ne 0) \, (9) تقسیم پذیری گرفته شده از ضرب‌پذیری
|a-b| \ge ||a| - |b|| (10)

اگر فرض کنیم که b > ۰ است آنگاه دو ویژگی دیگر قدر مطلق می‌توان چنین نوشت:

|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or} b \le a

از این ویژگی‌ها می‌توان در حل نامساوی‌ها استفاده کرد؛ برای نمونه:

|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12

از قدر مطلق دز تعیین فاصلهٔ مطلق در سامانهٔ متری در مجموعه اعداد حقیقی استفاده می‌شود.

اعداد مختلط

از آنجایی که اعداد مختلط دارای ترتیب کامل نیستند، تعریفی که در بالا برای قدر مطلق اعداد حقیقی گفته شد را نمی‌توان به طور مستقیم برای یک عدد مختلط به کار برد. از تعریف (۱) که در بالا گفته شد استفاده می‌کنیم:

|a| = \sqrt{a^2}

برای هر عدد مختلط داریم:

z = x + iy

که در آن x و y هردو اعدادی حقیقی‌اند. قدر مطلق z که آن را با |z| نمایش می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌شود:

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

بنابراین قدر مطلق یک عدد حقیقی مانند X را می‌توان با استفاده از مفهوم اعداد مختلط به صورت زیر نشان داد:

 |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|

مشابه ترجمهٔ هندسی قدر مطلق اعداد حقیقی، در قدر مطلق اعداد مختلط نیز از مفهوم قضیهٔ فیثاغورس استفاده می‌شود. قدر مطلق یک عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ آن عدد مختلط در صفحهٔ مختلط از مبدا و در حالت کلی تر قدر مطلق تفاضل دو عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ میان آن دو.

تمامی ویژکی‌هایی که برای قدر مطلق اعداد حقیقی بیان شد، از (۲) تا (۱۰) برای قدر مطلق اعداد مختلط نیز وجود دارد. اگر داشته باشیم:

 z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi)

آنگاه مزدوج مختلط z عبارت است از:

\overline{z} = x - iy

حال به آسانی می‌توان نشان داد که:

\begin{align} |z| & = r, \\ |z| & = |\overline{z}|\end{align}

و

|z| = \sqrt{\overline{z}}

با توجه به فرمولی آخر که گفته شد و ویژگی‌های قدر مطلق، توان ۲ قدر مطلق z به صورت زیر نوشته می‌شود:

|z|^2 = \overline{z} = x^2 + y^2

 تابع‌های قدر مطلق

تابع حقیقی قدر مطلق در همه جا پیوسته است و در همه جا به جز نقطهٔ x = ۰ مشتق‌پذیر است. این تابع در بازهٔ [۰ ∞-) اکیدا نزولی و در بازهٔ (∞+ ۰] اکیدا صعودی است و چون قدر مطلق عدد مثبت و منفی با هم برابر است پس تابعی زوج است و وارون ناپذیر.

تابع مختلط قدر مطلق در همه جا پیوسته‌است ولی هیچ جا مشتق‌پذیر نیست. (نگاه کنید به معادلات کوشی-ریمان)
در هر دو تابع مختلط و حقیقی قدر مطلق، تابع مرکب خود آن‌ها به صورت f(f(x)) با خود تابع f(x) برابر است.
تابعی محدب و غیرخطی است.

 مشتق

مشتق تابع قدر مطلق حقیقی برابر است با تابع علامت که با نماد sgn نمایش داده می‌شود، تابع زیر تنها به ازای x‌های ناصفر تعریف شده‌است:

\sgn (x) = \frac{x}{|x|},

تابع قدر مطلق حقیقی در x = ۰ مشتق‌پذیر نیست.
یادآوری: تابع علامت تابعی است که بدون توجه به مقدار x تنها علامت x را نشان می‌دهد بنابراین می‌توان گفت که x = sgn(x)abs(x)

تابع علامت را می‌توان به گونه‌ای شبیه تابع پله‌ای هویساید دانست؛ این تابع عبارت است از:

 u(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0,
  \end{cases}

که مقدار تابع هویساید در صفر تعریف شده‌است. پس به ازای تمامی اعداد حقیقی ناصفر داریم:

u(x) = \frac{\sgn(x) +1}{2}. \,

تابع قدر مطلق حقیقی در هیچ نقطه‌ای دارای تقعر نیست چون مشتق اول آن یعنی تابع علامت، در تمامی نقاط مقدار ثابت دارد پس مشتق دوم آن نسبت به x صفر است.

تابع قدر مطلق حقیقی انتگرال پذیر است. انتگرال آن عبارت است از:

\int|x|dx=\frac{x|x|}{2}+C,

چون x۲ = |x|۲ است:

{\int|x|dx=x|x|-\int\frac{x^2}{|x|}dx= x|x|-\int|x|dx\iff 2\int|x|dx = x|x| \iff \int|x|dx =\frac{x|x|}{2}+C.}

فاصله

مفهوم قدر مطلق و فاصله با یکدیگر رابطهٔ مستقیم دارند. همان گونه که در بالا گفته شد، قدر مطلق یک عدد حقیقی یا مختلط برابر است با فاصلهٔ آن عدد تا نقطهٔ مرجع و به صورت کلی تر قدر مطلق تفاضل دو عدد حقیقی یا دو عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ میان آن دو.

فاصلهٔ اقلیدوسی استاندارد میان دو نقطه:

a = (a_1, a_2, \dots , a_n)

و

b = (b_1, b_2, \dots , b_n)

که در فضای n بعدی اقلیدوسی به صورت زیر تعریف می‌شود:

\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2}.

اگر a و b دو عدد در مجموعهٔ اعداد حقیقی باشند، در حالت کلی | a − b | را می‌توان به صورت زیر نمایش داد:

|a - b| = \sqrt{(a - b)^2}.

و چنانچه a و b مختلط باشند:

 a = a_1 + i a_2 \,

و

 b = b_1 + i b_2 \,

آنگاه |a - b| به صورت زیر است:

|a - b| \,  = |(a_1 + i a_2) - (b_1 + i b_2)|\,
 = |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)|\,
 = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}.

رابطه‌های بالا نشان می‌دهد که قدر مطلق فاصله برای اعداد حقیقی یا مختلط در هر دو حالت با فاصلهٔ استاندارد اقلیدوسی آنان برابر است.

قدر مطلق فاصلهٔ میان دو عدد حقیقی یا مختلط، همواره نامنفی است. اگر تابع حقیقی d را به عنوان تابع فاصله تعریف کنیم، این تابع دارای ویژگی‌های زیر خواهد بود

d(a, b) \ge 0 نامنفی بودن
d(a, b) = 0 \iff a = b نشان دهندهٔ تساوی با عدد دیگر
d(a, b) = d(b, a) \, جابجایی
d(a, b)  \le d(a, c) + d(c, b)  نامساوی مثلثی

در حالت کلی

حلقه‌های مرتب

تعریف قدر مطلق در اعداد حقیقی را می‌توان به آسانی برای حلقه‌های مرتب گسترش داد. اگر a یک عضو حلقهٔ مرتب R باشد، آنگاه قدر مطلق a که آن را با | a | نمایش می‌دهند به صورت زیر تعریف می‌شود:

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{if}  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{if} a < 0, \end{cases}

که در آن a − وارون a در جمع و صفر، عضو بی‌اثر در جمع است.

 میدان‌ها

ویژگی‌های بنیادی قدر مطلق برای اعداد حقیقی، که در بالا گفته شد، شماره‌های ۲ تا ۵، را می‌توان برای هر میدان دلخواهی گسترش داد:

تابع حقیقی v در می‌دانی مانند F را قدر مطلق (یا بزرگی یا مقدار) می‌نامند، اگر ویژگی‌های زیر را داشته باشد:

v(a) \ge 0 نامنفی بودن
v(a) = 0 \iff a = \mathbf{0} صفر بودن
v(ab) = v(a) v(b) \, تفکیک‌پذیری در ضرب
v(a+b)  \le v(a) + v(b)  نامساوی مثلثی

در رابطه‌های بالا، صفر عضو بی‌اثر در جمع برای F است. همچنین از شرط سوم می‌توان دریافت که v(۱) = ۱ درنتیجه ۱ عضو بی‌اثر در ضرب برای F است. قدر مطلق اعداد حقیقی و مختلط که در بالا گفته شدند حالت خاصی از قدر مطلق در میدان‌ها بودند.

اگر v یک قدر مطلق روی F باشد، آنگاه تابع d روی F × F به صورت زیر است:

d(a, b) = v(a − b)

حال خواهیم داشت:

  • d(x, y) < max{d(x, z), d(y, z)}
+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:39  توسط آوریل مرادی  | 

تابع ثابت

فرض کنید X و Y دو مجموعه ناتهی و b∈Y عضوی ثابت و لخواه باشد. در این صورت می‌توان تابع f:X→Y را با ضابطه برای هر f(x)=b,x∈X تعریف کرد که به آن تابع ثابت می‌گوییم. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که به هر عضو دلخواه مجموعه X عضو ثابت b از مجموعه Y را نسبت می‌دهد. این تابع را معمولاً با Cb نشان می‌دهیم و می‌توان به آن را صورت زیر نیز نشان داد:

C_b=\{(x,b):x\in X\}

نمودار یک تابع ثابت روی اعداد حقیقی یک خط موازی محور Xها خواهد بود.   

+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:33  توسط آوریل مرادی  | 

تابع

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به قاعده‌های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.


نمودار تابع

 

پیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

در دیگر علوم

توابع در شاخه‌های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می‌شود.

توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می‌شوند که کاری را بر روی ورودی‌های خود انجام می‌دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم.

تعریف تابع

تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a، یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون f(a) نسبت می‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با نشان می‌دهیم.

شکل ۱. نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست

شکل ۲. نمونه‌ای از یک تابع

برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه X به دو عضو (b و c) از Y متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه X به یک عضو خاص از Y نسبت داده شده‌اند.

تابع f به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب (a,f(a)) برای هر مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f در Y است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابعf دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع برای هر گزاره را به صورت b = f(a) نشان می‌دهیم.

تعریف دقیق

یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:

1.   دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf = X.

2.   برای هر عنصر یگانه موجود باشد که (x,y)inf یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر و آنگاه الزاماً y = z.

علامت‌ها

برای هر یگانه عضو y در Y که به ازای آن را با f(x) نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون یا xfy را متروک ساخته‌است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای یا xfy می‌نویسیمy = f(x). عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم.

اگر f تابعی از مجموعه X به (در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با نشان می‌دهیم.

مشخص کردن تابع

برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع ، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر ، مقدار تابع f در x یعنی f(x) تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.

به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.

در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.

برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را باx نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با f(x) نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت f می‌گوییم. همچنین از این پس به قاعده‌ای که هر x را به y = f(x) نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.

نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا f معرف خود تابع و گزاره f(x) معرف ضابطه تابع است.

 

دامنه و برد تابع

یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.

به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)

در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.

تساوی دو تابع

فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.

تحدید و توسیع

فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.

بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f.

هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.

تصویر و تصویر معکوس

اگر یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با f(A) نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

بنابر این (y \to f(A اگر و فقط اگر به ازای y = f(x)، یا به بیان نمادین:

به عنوان مثال اگر X = {1,2,3,4,5} و Y = {a,b,c,d,e} و به صورت:

f = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d)}

تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت A = {1,3,4}در نظر گرفته شود در این صورت:

f(A) = {f(1),f(3),f(4)} = {a,c,d}

حال چونX نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان f(X) را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای

بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X۱,X۲,X۳,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.

در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت

(f(x)=fi(x اگر x∈Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.

نمودار تابع

شکل ۳. نمودار پیکانی یک تابع

منظور از نمودار یک تابع به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجموعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع ، دو منحنی بسته نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و به صورت f = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d} تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی

این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی، مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است.

شکل ۵

همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور xها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

فضای توابع

اگر X و Y دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع از X به Y را با YX نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

card(YX) = (cardY)cardX

از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگرX مجوعه‌ای n-عضوی و Y مجموعه‌ای m-عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعهX چون ، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنابر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.

توابع دو (یا چند) متغیره

عباراتی چون f(x,y) = sin(xy) یا f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد.

انواع تابع

توابع چندجمله‌ای

توابع مثلثاتی

نوشتار اصلی: تابع‌های مثلثاتی

توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که زاویه را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه مرتبط می‌کنند. توابع سینوس و کسینوس از جمله‌ی مهم‌ترین این توابع به شمار می‌روند. توابع مثلثاتی اهمیت بسیاری در ریاضیات کاربردی دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند.

 

+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:28  توسط آوریل مرادی  | 

تصاعد هندسی

 

 
نمایش تصویری تصاعد هندسی ۱ + ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ... که قدر نسبت آن ۱/۲ است.

در ریاضیات، تصاعد هندسی (به انگلیسی: geometric progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که از جمله اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت و ناصفر . به این عدد ثابت قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، ... یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را سری هندسی می‌نامند.

شکل کلی دنباله‌های هندسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots

بنابراین شکل کلی سری هندسی به صورت زیر خواهد بود:

a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots

در رابطه‌های بالا a جملهٔ اول دنباله و r ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد بود.

 

ویژگی‌های اولیه

n امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت r و جملهٔ اول a به صورت زیر نوشته می‌شود:

a_n = a\,r^{n-1}.

همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی n\geq 1 می‌توان گفت:

a_n = r\,a_{n-1}

رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است. چنانچه قدر نسبت تصاعد:

  • مثبت باشد، جمله‌های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
  • منفی باشد، جمله‌های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
  • بزرگتر از ۱ باشد، جمله‌های دنباله رشد نمایی به سمت مثبت بی‌نهایت خواهند داشت.
  • ۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
  • میان ۱ و ۱- باشد ولی صفر نباشد، جمله‌های بعدی دنباله به سمت صفر کاهش می‌یابند.
  • ۱- باشد، جمله‌های بعدی تشکیل یک دنبالهٔ متناوب را خواهند داد.
  • کوچکتر از ۱- باشد، قدر مطلق جمله‌های دنباله رشد نمایی خواهند داشت و هر یک از آن‌ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت میل خواهند کرد.

در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی نهایت (بسته به علامت جمله‌ها) یا به سمت صفر خواهیم بود.

 سری‌های هندسی

سری هندسی به مجموع جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.
\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n. \,

اگر دو سوی تساوی را در 1-r ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:

\begin{align}
(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k & = (1-r)(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n) \\
 & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n \\
 & {\color{White}{} = ar^0} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^n - ar^{n+1} \\
 & = a - ar^{n+1}
\end{align}

برای یک سری هندسی در صورتی که r ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:

\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}.

اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند m شروع کنیم:

\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}.

مشتق این رابطه نسبت به r باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:

\sum_{k=0}^n k^s r^k.

برای نمونه:

\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=
\frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.

یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج r را دارد را باید در 1-r^2: ضرب کرد:

(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}.

آنگاه

\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.

و برای سری که توان‌های فرد r را دارد:

(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}

و

\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.

سری‌های هندسی نامتناهی

یک سری هندسی نامتناهی یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱ > |r|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:
\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}}

از آنجایی که:

 r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| < 1.

آنگاه

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}

برای سری که تنها توان‌های زوج r را دارد:

\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}

و برای توان‌های فرد:

\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}

در صورتی که مجموع از شمارشگر k = ۰ شروع نشود:

\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}

رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱ > |r| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:

\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=0}^\infty kr^{k-1}=
\frac{1}{(1-r)^2}

رابطهٔ بالا تنها برای ۱ > |r| کار می‌کند. همچنین برای۱ > |r| می‌توان نوشت:

\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left( 1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left( 1+4 r + r^2\right)}{\left( 1-r\right)^4}

سری‌های نامتناهی مانند ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · · وجود دارند که مطلقا همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.

وارون سری بالا ۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · · خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که مطلقا همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:

\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.

 اعداد مختلط  

رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق r کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط r کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:

 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)}

چون:

\sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i} ,

که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:

 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right].

که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.

 ضرب

ضرب یک تصاعد هندسی به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه‌است.)

\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left(\sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1} (if a,r > 0).

اثبات: اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:

P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}.

پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:

P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+(n)}.

با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:

P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}.
P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}.

دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:

P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}.

در نتیجهٔ این کار:

P^2=(a_1 \cdot a_{n+1})^{n+1} and
P=(a_1 \cdot a_{n+1})^{\frac{n+1}{2}},

اثبات شد.

  

+ نوشته شده در  پنجشنبه هفدهم فروردین 1391ساعت 15:26  توسط آوریل مرادی  |